|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Vraag over het oplossen van een gebroken vergelijking
Ik heb een driehoek (eigenlijk een veelhoek). En ik wil daaromheen een evenwijdige driehoek tekenen met afstand m.
Als ik de coordinaten van punt a, b, c weet, hoe bereken ik dan b' ?
Antwoord
Ik noem
A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)
We verschuiven nu driehoek ABC zo dat het beeld van B in de oorsprong O komt te liggen:
O=(0,0),
P=(p1,p2)=(a1-b1,a2-b2)
Q=(q1,q2)=(c1-b1,c2-b2)
Lijn OP heeft vergelijking p1·y-p2·x=0
Lijn OQ heeft vergelijking q1·y-q2·x=0
Er zijn twee lijnen evenwijdig met OP op afstand m:
p1·y-p2·x=+/-m·Ö(p12+p22)
Er zijn twee lijnen evenwijdig met OQ op afstand m:
q1·y-q2·x=+/-m·Ö(q12+q22)
Het juiste teken kunnen we bepalen m.b.v. de uitdrukking d=q2·p1-p2·q1.
We krijgen:
p1·y-p2·x=-sign(d)·Ö(p12+p22)=r en
q1·y-q2·x=sign(d)m·Ö(q12+q22)=s
(sign(d) is het teken van d)
Het snijpunt van deze twee lijnen is
x=(r·q1-s·p1)/(q2·p1-p2·q1)=(r·q1-s·p1)/d
y=(r·q2-s·p2)/d
Met gebruikmaking van sign(d)/d=1/|d| en teruginvullen van r en s krijgen we:
x=-m·(Ö(p12+p22)·q1+Ö(q12+q22)·p1)/|d|
y=-m·(Ö(p12+p22)·q2+Ö(q12+q22)·p2)/|d|
(|d|=abs(d) is de absolute waarde van d)
Terugschuiven naar de oorspronkelijke driehoek en met gebruikmaking van de volgende afspraken:
A=(a1,a2)
B=(b1,b2)
C=(c1,c2)
p1=a1-b1
p2=a2-b2
q1=c1-b1
q2=c2-b2
d=q2·p1-p2·q1.
lp=Ö(p12+p22)
lq=Ö(q12+q22)
krijgen we dan uiteindelijk:
xb'=b1-m·(lp·q1+lq·p1)/|d|
yb'=b2-m·(lp·q2+lq·p2)/|d|
En dat vind ik een behoorlijk mooi antwoord!
Mocht het gaan om 3 punten in de ruimte:
A=(a1,a2,a3)
B=(b1,b2,b3)
C=(c1,c2,c3)
neem dan
p1=a1-b1
p2=a2-b2
p3=a3-b3
q1=c1-b1
q2=c2-b2
q3=c3-b3
lp=Ö
(p12+p22+p32)
lq=Ö(q12+q22+q32)
Voor d kan dan genomen worden:
d=Ö(lp2*lq2-(p1q1+p2q2+p3q3)2)
We krijgen dan:
xb'=b1-m·(lp·q1+lq·p1)/d
yb'=b2-m·(lp·q2+lq·p2)/d
zb'=b3-m·(lp·q3+lq·p3)/d
Een afleiding van deze formule kan handig gebeuren langs de volgende weg:
Het punt b' moet liggen op de bissectrice van hoek ABC.
Het punt b', het punt b en de projectie van B op BC (of BA) vormen een rechthoekige driehoek.
Het is dan mogelijk de lengte van het lijnstuk bb' uit te drukken in m en de hoek ABC: Het lijnstuk bb' heeft de lengte m/sin(0.5hoek(ABC)).
Dit combineren met een vectorvoorstelling van de bissectrice van hoek ABC levert dan bovenstaande formule.
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
